Teoria da Matemática -: Álgebra Básica - Racionalização de frações

Como dito anteriormente (na lição retrasada), não se costuma deixar uma fração com raiz de qualquer ordem no denominador, ou seja, não pode ter raízes na parte de baixo de uma fração.
Para corrigirmos isso, usamos uma técnica chamada de "Racionalização de Frações".
Um tópico bem simples. Se você já tem conhecimento desta matéria pode passar adiante e fazer os exercícios de Potenciação de Radiciação.

Racionalização de Frações (Introdução)
Esta técnica consiste em multiplicar a fração dada por um número que não altere o seu valor (apenas a sua apresentação).
Pense comigo, qual o número que pode ser multiplicado por qualquer outro e não altera o valor deste outro número?
- Isso mesmo, 1 (um) :)
Qualquer número multiplicado por 1 continua com o mesmo valor, veja os exemplos:

5 · 1 = 5

123 · 1 = 123

Também sabemos que qualquer fração que tenha o numerador (parte de cima da fração) igual ao denominador (parte de baixo da fração) vale 1:

$formdata=\Large\frac{5}{5}=1$	$formdata=\Large\frac{-31}{-31}=1$
$formdata=\Large\frac{2,521}{2,521}=1$	$formdata=\Large\frac{sqrt{23}}{sqrt{23}}=1$
$formdata=\Large\frac{sqrt{\frac{7}{32}}}{sqrt{\frac{7}{32}}}=1$	$formdata=\Large\frac{-sqrt{27}}{-sqrt{27}}=1$

Agora sim vamos ver Racionalização de Frações.

Racionalização de Frações (1^o caso)

O primeiro caso é quando temos apenas uma raiz sozinha no denominador.
Vamos ver como se racionaliza uma fração aplicando em um exemplo. Temos a fração $formdata=\frac{32}{sqrt+5}$ e queremos saber uma representação para este mesmo valor, mas sem nenhuma raiz em baixo.
A técnica diz que devemos multiplicar esta fração por outra fração que tenha valor 1 para não alterar seu valor.
Esta fração deve ter seu denominador igual ao seu numerador e ambos igual ao denominador da fração a ser modificada, no caso $formdata=\sqrt{5}$ .

Agora, efetuando esta multiplicação de frações (numerador de uma multiplica o numerador de outra, denominador de uma multiplica o denominador de outra):

$formdata=\frac{32\cdot\sqrt{5}}{sqrt+5\cdot\sqrt{5}}=\frac{32\sqrt+5}{5}$

Pronto, achamos a fração procurada:

$formdata=\Large\frac{32}{sqrt+5}=\frac{32\sqrt+5}{5}$

Mais exemplos:

fração	racionalização
$formdata=\Large\frac{1}{sqrt+5}$	$formdata=\frac{1}{sqrt{5}}\times\frac{sqrt+5}{sqrt+5}=\frac{sqrt+5}{5}$
$formdata=\Large\frac{3}{sqrt+3}$	$formdata=\frac{3}{sqrt+3}\times\frac{sqrt+3}{sqrt+3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=sqrt+3$
$formdata=\Large\frac{4}{sqrt{12}}$	$formdata=\frac{4}{sqrt{12}}\times\frac{sqrt{12}}{sqrt{12}}=\frac{4\sqrt{12}}{12}=\frac{sqrt{12}}{3}=\frac{sqrt{4\cdot+3}}{3}=\frac{2\sqrt+3}{3}$ Tivemos que fatorar o 12

Racionalização de Frações (2^o caso)

O segundo acontece quando, além da raiz temos outro número somado à ela no denominador. Exemplo:

$formdata=\frac{23}{4+sqrt+5}$

$formdata=\frac{sqrt+2}{3-sqrt+7}$

$formdata=\frac{sqrt+5}{sqrt+6-sqrt{21}}$

Para racionalizar este tipo de fração devemos, novamente, multiplicar por uma fração de valor 1. Formada pelo denominador da primeira apenas com o sinal do meio trocado.
Veja os exemplos:

$formdata=\Large\frac{23}{4+sqrt{5}}$	$formdata=\frac{23}{4+sqrt{5}}\times$ $formdata=\blue\frac{4-sqrt+5}{4-sqrt+5}$ $formdata==\frac{23\cdot(4-sqrt+5)}{(4+sqrt+5)\cdot(4-sqrt+5)}=\frac{92-23\sqrt+5}{16+4\sqrt+5-4\sqrt+5-5}=\frac{92-23\sqrt+5}{11}$
$formdata=\Large\frac{5}{sqrt+6+sqrt{21}}$	$formdata=\frac{5}{\sqrt{6}+\sqrt{21}}\time$ $formdata=\blue\frac{sqrt+6-sqrt+21}{sqrt+6-sqrt+21}$ $formdata==\frac{5\cdot(sqrt+6-sqrt{21})}{6-21}=\frac{5\cdot(sqrt+6-sqrt{21})}{-15}=-\frac{sqrt+6-sqrt{21}}{3}$

Note que a fração grifada em azul nos cálculos acima que é a fração que você deve multiplicar.

Ela é igual à parte de baixo da fração que estamos racionalizando, mas com sinal do termo que tem raiz, trocado.

Racionalização de Frações (3^o caso)

O terceiro caso ocorre quando temos uma raiz dentro de outra raiz no denominador. Veja os exemplos:

$formdata=\frac{21}{\sqrt{3+sqrt+7}}$

$formdata=\frac{3}{sqrt{4+\sqrt{15}}}$

$formdata=\frac{sqrt+3}{sqrt{9-\sqrt{29}}}$

$formdata=\frac{8}{sqrt{5-\sqrt{87}}}$

Para resolver estes casos, vamos ter que calcular dois passos. Primeiro devemos multiplicar pela fração formada pela raiz do denominador com o sinal do meio trocado. Veja os exemplos abaixo:

$formdata=\Large\frac{21}{\sqrt{3+\sqrt+7}}$	$formdata=\frac{21}{\sqrt{3+\sqrt+7}}\times$ $formdata=\blue\frac{\sqrt{3-\sqrt+7}}{\sqrt{3-\sqrt+7}}$ $formdata==\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{\sqrt{(3+\sqrt+7)\cdot(3-\sqrt+7)}}=\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{\sqrt{9-7}}=\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{sqrt+2}$
Ué, mas ainda tem uma raiz no denominador. - Isso mesmo, agora a gente aplica o 1° caso nesse resultado.
$formdata=\frac{21\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{sqrt+2}\times$ $formdata=\blue\frac{sqrt+2}{sqrt+2}$ $formdata==\frac{21\sqrt+2\cdot\sqrt{3-\sqrt+7}}{2}=\frac{21\cdot\sqrt{2\cdot(3-\sqrt+7)}}{2}=\frac{21\sqrt{6-2\sqrt+7}}{2}$

Note que até agora só trabalhamos com raízes quadradas.
Veja no próximo tópico como fazer se for uma raiz diferente de quadrada.

Racionalização de Frações (4^o caso)

Este último caso é o menos comum de todos, mas não quer dizer que não caia no vestibular também.
Ele ocorre quando temos uma raiz diferente de raiz quadrada no denominador. Veja uns exemplos:

$formdata=\Large\frac{2}{\sqrt[3]{65}}$	$formdata=\Large\frac{sqrt+2}{\sqrt[5]{12^3}}$
$formdata=\Large\frac{7}{\sqrt[8]{625}}$	$formdata=\Large\frac{121}{\sqrt[11]{121}}$

Para resolver este tipo de questão, novamente devemos multiplicar esta fração por uma que valha 1 e nos seja conveniente (que retire a raiz do denominador).

Esta fração conveniente será achada através da seguinte propriedade:

$formdata=\Large\sqrt[x]{a^b}\times\sqrt[y]{a^c}=a^{\frac{b}{x}+\frac{c}{y}}$

Sendo que o expoente do resultado $formdata=\frac{b}{x}+\frac{c}{y}$ , deve ser 1.Vamos ver um exemplo:

$formdata=\Large\frac{2}{\sqrt[3]{65}}$

Este será o exemplo que iremos desenvolver. Primeiro iremos transformar a raiz do denominador em potência

$formdata=\Large\frac{2}{65^{\frac{1}{3}}}$

Pronto, agora em cima deste $formdata=\frac{1}{3}$ devemos achar um expoente que somado a ele resulte 1.

$formdata=\frac{1}{3}+x=1\hspace{40}x=1-\frac{1}{3}\hspace{40}x=\frac{2}{3}$

O expoente que procuramos é $formdata=\frac{2}{3}$ , agora vamos multiplicar.

$formdata=\Large\frac{2}{65^{\frac{1}{3}}}\times\frac{65^{\frac{2}{3}}}{65^{\frac{2}{3}}}$

$formdata=\frac{2\cdot+65^{\frac{2}{3}}}{65^{\frac{1}{3}}\times+65^{\frac{2}{3}}}=\frac{2\sqrt[3]{65^2}}{65^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}}=\frac{2\sqrt[3]{65^2}}{65^{1}}=\frac{2\sqrt[3]{4225}}{65}$

Esta é a resposta final. Pois o 4225, ao ser fatorado, não ajuda em nada.

Agora faça os exercícios sobre potênciação e radiciação para testar se você obteve êxito neste estudo inicial.

Teoria da Matemática -

quinta-feira, 10 de novembro de 2011

Álgebra Básica - Racionalização de frações

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